Vsebina

Predstavljajte si, da morate ugotoviti, ali je dano stomestno liho naravno število praštevilo. Morda se ta naloga sliši kot slaba šala pri pouku matematike, vendar je odgovor ključnega pomena za sodobno kriptografijo. Preprost postopek bi bil, da za vsako naravno število \(d\), večje od \(1\) in manjše od kvadratnega korena danega števila, preverimo, ali \(d\) deli \(n\). To bi zahtevalo približno \(10^{50}\) operacij deljenja. Tudi če bi vsaka takšna operacija trajala le \(1\) nanosekundo, bi na odgovor čakali okoli \(10^{33}\) let, zato to ni učinkovit postopek.

Učinkovit postopek (ali algoritem) je tisti, ki potrebuje \(p(\log n)\) operacij, kjer je \(p(x)\) nek polinom. Na srečo v praksi obstajajo zelo hitri verjetnostni algoritmi, npr. Miller–Rabinov test, ki s precejšnjo verjetnostjo pravilno določijo, ali je število praštevilo. Na predavanju si bomo ogledali nekatere takšne postopke in osnovne ideje v ozadju.

O predavatelju

Aleksander Simonič je leta 2022 doktoriral iz analitične teorije števil na Univerzi Novega Južnega Walesa (Avstralija). Po doktoratu je bil tam zaposlen kot raziskovalec in predavatelj, kjer je poučeval različne matematične predmete študentom Avstralske vojaške akademije. Trenutno je zaposlen kot asistent na Fakulteti za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije Univerze na Primorskem, kjer se raziskovalno ukvarja z L-funkcijami ter poučuje dva številsko-teoretična predmeta. Je strasten ljubitelj klasične glasbe in dolgih sprehodov.

Vsebina

Poglejmo naslednji problem: polja na kvadratni \(n \times n\) mreži – šahovnici – so lahko poljubno pobarvana belo ali črno (črnim poljem bomo rekli tudi okužena). Belo polje se pobarva v črno, če ima vsaj dva črna soseda. Zanima nas najmanjše število polj, ki morajo biti na začetku črna, da se po končanem procesu celotna šahovnica pobarva črno.

Ta navidezno preprost problem nas popelje v zanimiv svet diskretne matematike in teorije grafov. Opisani proces se imenuje ojačano pronicanje (angl. bootstrap percolation) in predstavlja enega izmed klasičnih modelov širjenja po omrežjih. Kljub enostavnim pravilom vodi do presenetljivo zapletenih vprašanj in lepih matematičnih idej, pri katerih se prepletajo kombinatorika, teorija grafov, verjetnost in algoritmično razmišljanje.

V predavanju bomo raziskali različne variante modela: kaj se zgodi, če za okužbo potrebujemo več kot dva okužena soseda, če so nekatera polja imuna in zato ostanejo večno bela, ali pa če mreža ni kvadratna, temveč pravokotna. Ob tem bomo poskušali odkriti splošne vzorce, postavljati domneve in dokazovati njihove pravilnosti.

Tema je v zadnjih letih postala še posebej aktualna zaradi povezav z modeli širjenja nalezljivih bolezni, vendar imajo podobni procesi pomembno vlogo tudi pri širjenju informacij in vpliva v družbenih omrežjih, pri modeliranju delovanja nevronskih mrež, pri proučevanju okvar v računalniških sistemih ter v statistični fiziki. Tako bomo na konkretnem in intuitivnem problemu spoznali, kako lahko preprosta pravila vodijo do presenetljivo bogatega matematičnega dogajanja.

O predavatelju

Dr. Jaka Hedžet je leta 2025 doktoriral iz matematike na Fakulteti za naravoslovje in matematiko v Mariboru, kjer je trenutno zaposlen kot asistent. Na isti fakulteti je opravil celotno pot svojega študija. Med študijem se je večkrat udeležil matematičnega tekmovanja na Češkem, v času doktorskega študija pa je svoje raziskovalne rezultate predstavljal tudi v tujini, med drugim v Kanadi, na Poljskem, Slovaškem in drugod. Njegovo raziskovalno področje je teorija grafov, ki spada v vejo matematike, imenovano kombinatorika. Sodi med novejša, a kljub temu hitro rastoča področja matematike. Že od nekdaj je rad poučeval in predaval o matematiki, najprej sošolcem, nato svojim študentom, zdaj pa se zelo veseli podati nova in zanimiva znanja nadarjenim dijakom na taboru MaRS.

O predavatelju

Urban Merhar je maturiral na Gimnaziji Vič in študij nadaljeval na Fakulteti za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani. Sprva je študiral fiziko, nato pa se usmeril v finančno matematiko iz katere je tudi diplomiral.

Med študijem se je zaposlil v družbi Sava Re, kjer je zaposlen še danes. V okviru svojega dela se ukvarja z upravljanjem tveganj, izračunom kapitalskih zahtev (solventnosti) ter analizo in poročanjem podatkov.

V zadnjem obdobju se osredotoča predvsem na prihajajoče spremembe evropske regulative na področju zavarovalništva (npr. Solventnost II) ter na uvajanje in uporabo umetne inteligence v okviru Zavarovalne skupine Sava.

O predavateljici

Jasna Urbančič je doktorirala iz matematike na Univerzi Queen Mary v Londonu, svoje raziskovalno delo pa je posvetila topološki analizi podatkov. Zaposlena je kot podatkovna znanstvenica v podjetju Teads, kjer v sklopu ekipe razvija prediktivne modele in optimizacijske algoritme na področju oglaševalskih tehnologij. Med ključne naloge ekipe, v kateri deluje, sodijo razvoj kompaktnih modelov, zagotavljanje njihovega učinkovitega serviranja ter spremljanje in optimizacija delovanja.